Креслення - перший і дуже важливий крок у вирішенні геометричної задачі. Яким має бути малюнок правильної піраміди?
Спочатку згадаємо властивості паралельного проектування:
- Паралельні відрізки фігури зображуються паралельними відрізками;
- Зберігається відношення довжин відрізків паралельних прямих і відрізків однієї прямої.
Малюнок правильної трикутної піраміди
Спочатку зображаємо основу. Оскільки при паралельному проектуванні кути та відношення довжин не паралельних відрізків не зберігаються, правильний трикутник у основі піраміди зображується довільним трикутником.
Центр правильного трикутника – точка перетину медіан трикутника. Оскільки медіани в точці перетину діляться щодо 2:1, рахуючи від вершини, подумки з'єднуємо вершину основи з серединою протилежної сторони, приблизно ділимо її на три частини, і на відстані 2 частин від вершини ставимо крапку. З цієї точки нагору проводимо перпендикуляр. Це – висота піраміди. Перпендикуляр малюємо такої довжини, щоб бічне ребро не закривало зображення висоти.
Малюнок правильної чотирикутної піраміди
Малюнок правильної чотирикутної піраміди також починаємо з основи. Оскільки паралельність відрізків зберігається, а величини кутів — ні, квадрат в основі зображується паралелограмом. Бажано гострий кут цього паралелограма робити менше, тоді бічні грані виходять більше. Центр квадрата – точка перетину його діагоналей. Проводимо діагоналі, з точки перетину відновлюємо перпендикуляр. Цей перпендикуляр – висота піраміди. Вибираємо довжину перпендикуляра таким чином, щоб бічні ребра не зливали між собою.
Малюнок правильної шестикутної піраміди
Оскільки при паралельному проектуванні паралельність відрізків зберігається, основа правильної шестикутної піраміди - правильний шестикутник - зображаємо шестикутником, у якого протилежні сторони паралельні та рівні. Центр правильного шестикутника – точка перетину його діагоналей. Щоб не захаращувати малюнок, діагоналі не проводимо, а знаходимо цю точку приблизно. З неї відновлюємо перпендикуляр – висоту піраміди – так, щоб бічні ребра не зливалися між собою.
Розгортка бічної поверхні піраміди (рис. 16.3) складається з трьох трикутників, що представляють у справжньому вигляді бічні грані піраміди.
Для побудови розгортки необхідно заздалегідь визначити справжні довжини бічних ребер піраміди. Повернувши ці ребра навколо висоти піраміди до положення паралельного площині p 2 на фронтальній площині проекцій отримаємо їх справжні довжини у вигляді відрізків і .
Побудувавши по трьох сторонах і грань піраміди ASB (рис. 16.4) прилаштовуємо до неї суміжну грань – трикутник BSC, а до останнього – грань CSA. Отримана фігура уявляє собою розгорнення бічної поверхні цієї піраміди.
Для отримання повної розгортки до однієї зі сторін основи прилаштовуємо основу піраміди – трикутник АВС.
Для побудови на розгортці лінії, по якій поверхня піраміди перетнеться площиною a (рис. 16.3), слід нанести на ребра SA, SB і SC, відповідно, точки 1, 2 і 3, в яких ця площина перетинає ребра, визначивши справжні довжини відрізків S1 , S2 та S3.
 |  |
| Мал. 16.3 | Мал. 16.4 |
Контрольні питання на тему лекції:
1. Що називається розгорткою поверхні?
2. Які поверхні називаються такими, що розгортаються або нерозгортаються. Наведіть приклади.
3. Загальні правила побудови розгорток поверхні призми, піраміди.
Спочатку будують розгортку невсіченої піраміди, всі грані якої, що мають форму трикутника, однакові. На площині планують точку S 1 (вершину піраміди) і з неї, як із центру, проводять дугу кола радіусом R, рівним дійсної довжини бічного ребра піраміди. Дійсну довжину ребра можна визначити за профільною проекцією піраміди, наприклад відрізки s" e" або s" b" , так як ці ребра паралельні площині W і зображуються у ньому справжньої довжиною. Далі по дузі кола від будь-якої точки, наприклад а 1 відкладають шість однакових відрізків, рівних дійсній довжині сторони шестикутника - основи піраміди. Дійсну довжину сторони основи піраміди отримуємо на горизонтальній проекції (відрізок ab). Крапки a 1 - f 1 з'єднують прямими з вершиною s 1 . Потім від вершини а 1 цих прямих відкладають дійсні довжини відрізків ребер до січної площини.
На профільній проекції зрізаної піраміди є дійсні довжини лише двох відрізків - s"5" і s"2". Дійсні довжини інших відрізків визначають способом обертання їх навколо осі, перпендикулярної до площини. Ні проходить через вершину s. Наприклад, повернувши відрізок s"6" навколоосі до положення, паралельного площині W, отримаємо на цій площині його справжню довжину. Для цього достатньо через точку 6" провести горизонтальну пряму до перетину з дійсною довжиною ребра SE (або SB). Відрізок s // 6 0 // є дійсною довжиною відрізка S6 .
Отримані точки l 1 , 2 1 , 3 1 і т. д. з'єднують прямими і пристосовують фігури основи та перерізу, користуючись методом тріангуляції. Лінії згину на розгортці проводять штрихпунктирною лінією з двома точками.
Розгортка усіченого конуса
Побудова розгортки поверхні конуса починають з проведення дуги кола радіусом, що дорівнює довжині утворює конуса з точки s 0 . Довжина дуги визначається кутом α:
α=
,
де d - діаметр кола основи конуса в мм;
l- Довжина утворює конуса в мм.
Дугу ділять на 12 частин та отримані точки з'єднують з вершиною sпро . Від вершини s 0 відкладають дійсні довжини відрізків, що утворюють від вершини конуса до січної площини. Р.
Дійсні довжини цих відрізків знаходять, як і в прикладі з пірамідою, способом обертання біля вертикальної осі, яка проходить через вершину конуса. Так, наприклад, щоб отримати дійсну довжину S2, треба з 2" провести горизонтальну пряму до перетину в точці b / з контурною утворює конуса, що є дійсною її довжиною.
До розгортки конічної поверхні пристосовують фігури перерізу та основи конуса.
Запитання для самоперевірки
Як побудувати розгортку призми?
Як побудувати розгортку піраміди?
Як побудувати розгортку циліндра?
Як побудувати розгортку конуса?
Тема: аксонометричні Проекції
Аксонометричні проекції є наочне зображення предмета на площині, при якому зображуються всі три вимірювання.
Аксонометричне проектування - це паралельне проектування предмета разом з координатною системою на деяку площину.
Якщо проєкуючий промінь перпендикулярний площині проекцій - прямокутна аксонометрія.
Якщо не перпендикулярний – косокутна.
Ставлення довжини аксонометрической проекції відрізка, // аксонометрической осі, для її справжньої довжини – коефіцієнт спотворення.
k-коефіцієнт спотворення по осі ОХ
m-коефіцієнт спотворення по осі ОУ
n-коефіцієнт спотворення по осі ОZ
Якщо k = m = n-аксонометрія називається ізометрією
Якщо рівні лише два коефіцієнти (k=m≠n) – диметрія
Вважається, що цивілізація та культура людства з'явилася в Єгипті, а там досі символом збереження енергії є піраміда. Називають її сакральною фігурою, яка може містити великий потік заряджених частинок, тому багато людей роблять невеликі пірамідки зі звичайного паперу, всередині які є порожніми. Туди можна покласти леза та ножі, які затупилися, щоб вони знову стали придатними для різання.
Піраміда з паперу: схеми
Піраміда своїми руками: способи виготовлення паперу
Зробити піраміду з паперу під силу навіть новачкові, потрібно лише правильно дотримуватися інструкції.
Спосіб 1.Потрібен аркуш паперу 40 на 40 см. Для початку його слід скласти від кута до кута, тобто з'єднати 2 протилежні сторони. Виконати ці маніпуляції слід 2 рази, вийде в результаті подвійний трикутник – це і є основа, кути її потрібно скласти до центру. Після перевернути фігуру і на звороті зробити те саме. Тут же слід розігнути ромб з одного боку 2 рази і загнути всередину папір, також з іншого боку. Тепер кінці піраміди вигинаються, таким чином має вийти зірка з 4 кінцями. А для надання обсягу піраміду потрібно просто потягнути за протилежні кінці.
Спосіб 2.У першу чергу необхідно намітити лінії квадрата по діагоналі, для цього слід зігнути і розігнути протилежні кінці. Потім кути кожної сторони треба підняти нагору і закласти таким чином, щоб вийшов квадрат. Кути верхнього квадрата з бокових ліній потрібно перегнути всередину. Потім верхній трикутник потрібно обережно відігнути вниз, а потім, притримуючи рукою деталь, перевернути на іншу сторону.
На звороті робиться те саме: кути перегинаються і відгинаються вниз. Піраміда вже майже готова, потрібно лише підняти куточки, розташовані внизу – нагору. Розправляти кути слід доти, доки внизу не буде видно квадрата - це дно піраміди. Тупим кінцем ножиць слід відгладити кожну зі сторін піраміди, кожне її ребро.
Як зробити піраміду з картону?
Піраміда – символічний предмет. Ще наші предки вважали, що вона здатна принести у світ гармонію. Вдома можна самостійно зробити її не лише з паперу, а й із картону.
Спосіб 1.На білому аркуші паперу слід намалювати квадрат та 4 трикутники. Наприклад: трикутник висотою 26,5 см, а ширина його (рівна стороні квадрата) - 14,5 см. Тепер за допомогою ножиць необхідно вирізати всі деталі піраміди, залишаючи при цьому невеликий відступ для нахлеста. Всі елементи скласти разом і змастити ділянки з'єднання клеєм, а потім дати висохнути. Після цього можна фарбами (бажано акриловими) або олівцями прикрасити готову фігуру.
Спосіб 2.Можна склеїти піраміду, застосовуючи математичні навички. Називається такий виріб «Піраміда із золотим перетином». Розмір її становитиме 7,23 див. Тепер треба згадати геометрію: коефіцієнт золотого перерізу дорівнює 1,618. Тепер цей коефіцієнт слід помножити на 723 мм виходить 117 мм. Такою буде довжина основи біля самої піраміди, висота при цьому дорівнюватиме 72 мм.
Тепер за теоремою Піфагора потрібно вирахувати розмір граней трикутника. Довжина піраміди має бути 117 мм. Якщо помножити 117 на 117, то вийде квадрат основи, яка необхідна для того, щоб піраміда не вийшла порожньою. На картоні необхідно накреслити всі деталі та вирізати. Після цього з'єднати грані трикутників. При з'єднанні останнього з них потрібно попередньо підняти вертикально каркас, а потім приклеїти його.
Кути потрібно проклеювати акуратно та максимально рівно, це буде впливати на стійкість виробу. Якщо у фігури заплановано дно, то його приклеювати потрібно в останню чергу, коли всі грані були склеєні і вже висохли.
Спосіб 3.Можна створити велику піраміду зі старої коробки, наприклад, від холодильника.
Довжина основи дорівнюватиме приблизно 50 см. Для початку потрібно розкреслити схему фігури на картоні, беручи за основу правило золотого перерізу, як у попередньому прикладі.
Повинні вийти в результаті рівнобедрені трикутники. Між собою їх потрібно з'єднати збоку і склеїти скотчем так, щоб сторона картону з написами була всередині фігури.
Тепер має вийти піраміда безпідставно. Потрібно вирізати ще квадрат, довжина сторони якого дорівнює 50 см. Він буде необхідний стійкості.
Спосіб 4.Піраміда з картону подарункова. Її можна використовувати як упаковку для основного подарунка. Для її виготовлення знадобляться: степлер, ножиці, 4 невеликі квадрати з картону, скотч, нетовста стрічка, олівець. Потрібно взяти 4 квадрати з картону, 1 з них потрібно відразу відкласти убік, на ін. намалювати олівцем трикутники, а після їх вирізати, причому робити це потрібно з усіма 4 трикутниками. До кожної сторони квадрата слід прикласти по 1 трикутнику найкоротшою частиною. Після цього трикутник необхідно приклеїти до основи квадрата скотчем.
Далі необхідно взяти в руки три трикутники і склеїти їх між собою так, щоб усередині вийшов «будиночок». При цьому жоден трикутник не потрібно приклеювати. Його потрібно залишити відкритим, щоб усередину фігури можна було щось покласти.
Простіше зробити піраміду невеликого розміру, якщо роздрукувати попередньо розгортку фігури.
Після за допомогою лінійки потрібно зігнути по краях фігуру. Лінійка потрібна для того, щоб грані залишилися рівними. Після цього потрібно стик розгортки проклеїти за допомогою «моменту», за бажання можна ще зробити підставу, щоб фігура була стійкою.
Якщо поставити піраміду з паперу або картону в приміщенні в певному місці, то вона позитивно впливатиме на життя людини. Наприклад, якщо вона розташована у східній частині кімнати, то це позитивно впливатиме на здоров'я, на південному сході та півдні – допоможе набути фінансової стабільності, на заході – служить оберегом для дітей, а на південному заході – покращує відносини в сім'ї. Прикрашайте свій будинок та даруйте такі сховища позитивній енергії своїм рідним та близьким!
Розгортка поверхні піраміди - це плоска фігура, складена з основи та граней піраміди, поєднаних із деякою площиною. На прикладі нижче ми розглянемо побудову розгортки методом трикутників.
Піраміду SABC перетинає фронтально-проецуючу площину α. Необхідно побудувати розгортку поверхні SABC та нанести на неї лінію перетину.
На фронтальній проекції S"A"B"C" відзначаємо точки D", E" і F", в яких слід α v перетинається з відрізками A"S", B""S"" та C""S"" відповідно. Визначаємо положення точок D", E", F" і з'єднуємо їх один з одним. Лінія перетину позначена на малюнку червоним кольором.
Визначення довжини ребер
Щоб знайти натуральні величини бічних ребер піраміди, скористаємося методом обертання навколо прямої, що проеціює. Для цього через вершину S перпендикулярно до горизонтальної площини H проведемо вісь i. Повертаючи навколо неї відрізки SA, SB і SC, перемістимо в положення, паралельне фронтальної площині V.
Дійсні величини ребер дорівнюють проекціям S""A""1, S""1B""1 і S""C""1. Відзначаємо на них точки D""1, E""1, F""1, як це показано стрілками на малюнку вище.
Трикутник ABC, що лежить в основі піраміди, паралельний горизонтальній площині. Він відображається на ній у натуральну величину, що дорівнює ∆A"B"C".
Порядок побудови розгортки
У довільному місці на кресленні відзначаємо точку S0. Через неї проводимо пряму n і відкладаємо відрізок S 0 A 0 = S "A" 1 .
Будуємо грань ABS = A 0 B 0 S 0 як трикутник з трьох сторін. Для цього з точок S 0 і A 0 проводимо дуги кіл радіусами R 1 = S "B" 1 і r 1 = A B відповідно. Перетин даних дуг визначає положення точки B0.
Грані B0S0C0 і C0S0A0 будуються аналогічно. Основа піраміди в залежності від компонування креслення приєднується до будь-якої зі сторін: A 0 B 0 , B 0 C 0 або C 0 A 0 .
Нанесемо на розгортку лінію, якою площина α перетинається з пірамідою. Для цього на ребрах S 0 A 0 , S 0 B 0 і S 0 З 0 відзначимо відповідно точки D 0 , E 0 і F 0 . При цьому точка D 0 знаходиться на перетині відрізка S 0 A 0 з колом радіусом "D" 1 . Аналогічно E 0 = S 0 B 0 ∩ S" "E"" 1 , F 0 = S 0 C 0 ∩ S "F "" 1 .
