Переходячи до фізичних додатків похідної, ми використовуватимемо дещо інші позначення ті, які у фізиці.
По-перше, змінюється позначення функцій. Справді, які функції ми збираємось диференціювати? Цими функціями служать фізичні величини, залежні від часу. Наприклад, координата тіла x(t) та його швидкість v(t) можуть бути задані формулами на кшталт таких:
Є ще одне позначення похідної, дуже поширене як у математиці, і у фізиці:
похідна функції x(t) позначається | ||
(читається ¾де ікс по де тэ¿).
Зупинимося докладніше на значенні позначення (29). Математик розуміє його подвійно або як межа:
або як дріб, у знаменнику якої стоїть збільшення часу dt, а чисельнику так званий диференціал dx функції x(t). Поняття диференціала не складно, але ми не будемо його зараз обговорювати; воно чекає на вас на першому курсі.
Фізик, не скований вимогами математичної суворості, розуміє позначення (29) більш неформально. Нехай dx є зміна координати за час dt. Візьмемо інтервал dt настільки маленьким, що відношення dx=dt близько до своєї межі (30 ) з точністю, що влаштовує нас.
І тоді, скаже фізик, похідна координати за часом є просто дріб, в чисельнику якої стоїть досить мала зміна координати dx, а в знаменнику досить малий проміжок часу dt, протягом якого ця зміна координати відбулася. Таке не суворе розуміння похідної притаманно міркувань у фізиці. Далі ми дотримуватимемося саме цього фізичного рівня суворості.
Давайте повернемося до вихідного прикладу (26) і порахуємо похідну координати, а заразом подивимося на спільне використання позначень (28) і (29):
x(t) = 1 + 12t 3t2 ) x(t) = dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t:
(Символ диференціювання dt d перед дужкою це все одно, що штрих зверху за дужкою в колишніх позначеннях.)
Зверніть увагу, що обчислена похідна координати дорівнювала швидкості тіла (27 ). Це не випадковий збіг, і нам потрібно обговорити його докладніше.
2.1 Похідна координати
Насамперед зауважимо, що швидкість (27 ) може бути як позитивною, так і негативною. А саме, швидкість позитивна при t< 2, обращается в нуль при t = 2 и становится отрицательной при t > 2.
Як це розуміти? Дуже просто: ми маємо справу не з абсолютною величиною швидкості, а з проекцією vx вектора швидкості на вісь X. Тому замість (27) правильніше було б написати:
vx = 12 6t: |
Якщо ви забули, що таке проекція вектора на вісь, прочитайте відповідний розділ статті ¾ Вектори у фізиці¿. Тут ми нагадаємо лише, що знак проекції vx відображає зв'язок напрямку швидкості та напряму осі X:
vx > 0, тіло рухається у напрямку осі X; vx< 0 , тело движется против оси X.
(Наприклад, якщо vx = 3 м/с, це означає, що тіло рухається зі швидкістю 3 м/с у бік, протилежну осі X.)
Тому в прикладі (31 ) ми маємо наступну картину руху: при t< 2 тело движется в положительном направлении оси X и постепенно замедляется; при t = 0 тело останавливается; при t >2 тіло, розганяючись, рухається у негативному напрямку осі X.
Припустимо, що швидкість тіла за абсолютною величиною дорівнює v. Можливі два випадки напряму руху.
1. Якщо тіло рухається в позитивному напрямку осі X, то мале зміна координати dx позитивно і дорівнює шляху, що проходить тілом за час dt. Тому
x = dx dt = v:
2. Якщо тіло рухається у негативному напрямку осі X, то dx< 0. Путь за время dt равен dx, поэтому dx=dt = v или
x = dx dt = v:
Зауважимо тепер, що у першому випадку vx = v, тоді як у другому випадку vx = v. Тим самим обидва випадки об'єднуються в одну формулу:
x = vx; |
і ми приходимо до найважливішого факту: похідна координати тіла дорівнює проекції швидкості тіла на цю вісь.
Легко бачити, що працює ознака зростання (зменшення) функції. А саме:
x > 0) vx > 0) тіло рухається у напрямку осі X) координата x збільшується; x< 0) vx < 0) тело двигается против оси X) координата x уменьшается:
2.2 Прискорення
Швидкість тіла характеризує швидкість зміни його координати. Але швидкість також може змінюватися повільніше чи швидше. Характеристика швидкості зміни швидкості служить фізична величина, звана прискоренням.
Нехай, наприклад, швидкість автомобіля при рівномірному розгоні збільшилася з v0 = 2 м/с до v = 14 м/с за час t = 3 с. Прискорення автомобіля обчислюється за такою формулою:
v v0 | ||||||||
і в даному випадку виявляється одно: | ||||||||
Таким чином, за секунду швидкість автомобіля збільшується на 4 м/с.
А чому рівне прискорення, якщо швидкість, навпаки, зменшилася з v0 = 14 м/с до v = 2 м/с за той самий час t = 3 c? Тоді за формулою (33) отримуємо:
За секунду, як бачимо, швидкість зменшується на 4 м/с.
Чи можна говорити про прискорення, якщо швидкість змінюється нерівномірно? Звичайно, можна, але тільки це буде миттєве прискорення, яке також залежить від часу. Схема міркувань вам вже добре знайома: у формулі (33 ) замість проміжку часу t беремо малий проміжок dt, замість різниці v v0 беремо збільшення dv швидкості за час dt, і в результаті отримуємо:
Таким чином, виходить, що прискорення - це похідна швидкості.
Формула (34 ), однак, не описує всі ситуації, що виникають у механіці. Наприклад, при рівномірному русі по колу швидкість тіла не змінюється по модулю, і відповідно (34 ) ми повинні були б отримати a = v = 0. Але ви чудово знаєте, що прискорення у тіла є, воно спрямоване до центру окружності і називається доцентровим. Тому формула (34) потребує деякої модифікації.
Ця модифікація пов'язана з тим, що прискорення насправді є вектором. Виявляється, вектор прискорення показує напрямок зміни швидкості тіла. Що це означає ми зараз з'ясуємо на простих прикладах.
Нехай тіло рухається вздовж осі X. Розгляньмо два випадки напрямку прискорення: по осі X і проти осі X відповідно.
1. Вектор прискорення ~a спрямований з віссю X (рис. 18). Проекція прискорення вісь X позитивна: ax > 0.
Мал. 18. ax > 0
У даному випадку швидкість змінюється у позитивному напрямку осі X. А саме:
Якщо тіло рухається праворуч (vx > 0), воно розганяється: швидкість тіла по модулю збільшується. Проекція швидкості vx у своїй також збільшується.
Якщо тіло рухається вліво (vx< 0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Но обратите внимание, что проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом увеличивается.
Таким чином, якщо ax > 0, то проекція швидкості vx зростає незалежно від того,
у якому напрямі рухається тіло.
2. Вектор прискорення ~a спрямований протилежно до осі X (рис. 19). Проекція прискорення на вісь X негативна: ax< 0.
Мал. 19. ax< 0
У даному випадку швидкість змінюється у негативному напрямку осі X. А саме:
Якщо тіло рухається вправо (vx > 0), воно гальмує: швидкість тіла за модулем зменшується. Проекція швидкості vx у своїй також зменшується.
Якщо тіло рухається вліво (vx< 0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Но проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом уменьшается.
Таким чином, якщо ax< 0, то проекция скорости vx убывает, и опять-таки вне зависимости от того, в каком направлении движется тело.
Виявлений у цих прикладах зв'язок знака проекції прискорення ax зі зростанням (зменшенням) проекції швидкості vx призводить до потрібної модифікації формули (34 ):
приклад. Ще раз повернемося наприклад (26):
x = 1 + 12t 3t2
(Координата вимірюється в метрах, час у секундах). Послідовно диференціюючи двічі, отримуємо:
vx = x = 126t;
ax = vx = 6:
Як бачимо, прискорення постійно за модулем і дорівнює 6 м/с2. Спрямовано прискорення у бік, протилежний осі X.
Наведений приклад є випадок рівноприскореного руху, при якому модуль та напрямок прискорення незмінні (або, коротше кажучи, ~a = const). Рівноприскорений рух один з найважливіших видів руху в механіці.
З цього прикладу неважко зрозуміти, що з рівноприскореному русі проекція швидкості є лінійною функцією часу, а координата квадратичною функцією.
приклад. Розглянемо екзотичніший випадок:
x = 2 + 3t 4t2 + 5t3.
Досі поняття похідної ми пов'язували з геометричним уявленням графіка функції. Однак було б грубою помилкою обмежувати роль поняття похідної одним лише завданням визначення нахилу дотичної до даної кривої. Ще більш важливим з наукового погляду завданням є обчислення швидкості зміни будь-якої величини f(t), Що змінюється з часом t. Саме з цього боку Ньютон і підійшов до диференційного числення. Зокрема, Ньютон прагнув проаналізувати явище швидкості, розглядаючи час і положення частинки, що рухається, як змінні величини (за висловом Ньютона, "флюенти"). Коли деяка частка рухається вздовж осі х, її рух цілком визначено, якщо задана функція х = f(t), Яка вказує положення частинки х у будь-який момент часу t. "Рівномірний рух" з постійною швидкістю b по осі х визначається лінійною функцією х = а + btде а є положення частки в початковий момент (при t = 0).
Рух частки на площині описується вже двома функціями
x = f(t), y = g(t),
які визначають її координати як функції часу. Зокрема* рівномірному руху відповідають дві лінійні функції
x = a + bt, y = c + dt,
де b і d - дві "компоненти" постійної швидкості, а a і з - координати початкового положення частки (при t = 0); траєкторією частки є пряма лінія, рівняння якої
(х – a) d – (y – с) b = 0
виходить шляхом виключення t із двох вартих вище співвідношень.
Якщо частка рухається у вертикальній площині х, під дією однієї лише сили тяжіння, то рух її (це доводиться в елементарній фізиці) визначено двома рівняннями
де а, b, с, d- постійні величини, що залежать від стану частинки в початковий момент, а g - прискорення сили тяжіння, що дорівнює приблизно 9,81, якщо час вимірюється в секундах, а відстань - в метрах. Траєкторія руху, що отримується шляхом виключення t з двох даних рівнянь, є парабола
якщо тільки b≠0; інакше траєкторією є відрізок вертикальної осі.
Якщо частка змушена рухатися деякою даною кривою (подібно тому як поїзд рухається по рейках), то рух її може бути визначено функцією s (t) (функцією часу t), що дорівнює довжині дуги s, що обчислюється вздовж даної кривої від деякої початкової точки Р 0 до положення частки у точці Р у момент часу t. Наприклад, якщо йдеться про одиничне коло х 2 + y 2 = 1, то функція s = ctвизначає на цьому колі рівномірний обертальний рух зі швидкістю з.
* Вправа. Накреслити траєкторії плоских рухів, заданих рівняннями: 1) x = sin t, y = cos t; 2) x = sin 2t, y = cos 3t; 3) х = sin 2t, y = 2 sin 3t; 4) в описаному вище параболічному русі припустити початкове положення частки (при t = 0) на початку координат і рахувати b>0, d>0. Знайти координати найвищої точки траєкторії. Знайти час t та значення х, що відповідають вторинному перетину траєкторії з віссю х.
Першою метою, яку поставив собі Ньютон, було знаходження швидкості частки, що рухається нерівномірно. Розглянемо для простоти рух частинки вздовж деякої прямої лінії, заданий функцією х = f(t). Якби рух був рівномірним, тобто відбувався з постійною швидкістю, то цю швидкість можна було б знайти, взявши два моменти часу t і t 1 і відповідні їм положення частинок f(t)і f (t 1)і склавши відношення
Наприклад, якщо t виміряно в годинах, а х у кілометрах, то при t 1 - t = 1різниця х 1 - хбуде числом кілометрів, пройдених за 1 годину, а v- Швидкістю (в кілометрах на годину). Говорячи, що швидкість є величина постійна, мають на увазі лише те, що різницеве ставлення
не змінюється за будь-яких значень t і t 1 . Але якщо рух нерівномірний (що має, наприклад, місце при вільному падінні тіла, швидкість якого в міру падіння зростає), то відношення (3) не дає значення швидкості в момент t, а є те, що прийнято називати середньою швидкістю в проміжку часу від t до t1. Щоб отримати швидкість у момент tпотрібно обчислити межу середньої швидкостіпри прагненні t1 до t. Таким чином, слідуючи Ньютону, ми визначимо швидкість так:
Іншими словами, швидкість є похідною від пройденого шляху (координати частки на прямий) за часом, або "миттєва швидкість зміни" шляху по відношенню до часу - на противагу середньоїшвидкості зміни, яка визначається за формулою (3).
Швидкість зміни самої швидкостіназивається прискорення.Прискорення - це похідна від похідної; воно зазвичай позначається символом f"(t) і називається другий похіднийвід функції f(t).
Іноді завдання B9 з ЄДІ з математики замість всіх улюблених графіків функції або похідної дається просто рівняння відстані від точки до початку координат. Що робити у цьому випадку? Як на відстані знайти швидкість чи прискорення.
Насправді, все просто. Швидкість - це похідна від відстані, а прискорення - це похідна швидкості (або, що те саме, друга похідна від відстані). У цьому короткому відео ви переконаєтеся, що такі завдання вирішуються нітрохи не складніше за «класичні» B9.
Сьогодні ми розберемо два завдання на фізичний зміст похідних із ЄДІ з математики. Ці завдання зустрічаються в частині B і суттєво відрізняються від тих, що більшість учнів звикла бачити на пробниках та іспитах. Справа в тому, що вони вимагають розуміти фізичний зміст похідної функції. У цих завданнях мова йтиме про функції, що виражають відстані.
Якщо $S=x\left(t \right)$, то $v$ ми можемо порахувати так:
Ці три формули – все, що вам знадобиться для вирішення таких прикладів на фізичний зміст похідної. Просто запам'ятайте, що $v$ це похідна від відстані, а прискорення це похідна від швидкості.
Давайте подивимося, як це працює під час вирішення реальних завдань.
Приклад №1
де $x$ - відстань від точки відліку в метрах, $t$ - час у секундах, що минув з початку руху. Знайдіть швидкість точки (м/с) в момент часу $t=2c$.
Це означає, що ми маємо функцію, що задає відстань, а потрібно порахувати швидкість в момент часу $t=2c$. Інакше кажучи, нам потрібно знайти $v$, тобто.
Ось і все, що нам потрібно було з'ясувати з умови: по-перше, як виглядає функція, а по-друге, що нам потрібно знайти.
Давайте вирішувати. Насамперед, порахуємо похідну:
\[(x)"\left(t \right)=-\frac(1)(5)\cdot 5((t)^(4))+4((t)^(3))-3(( t)^(2))+5\]
\[(x)"\left(t \right)=-((t)^(4))+4((t)^(3))-3((t)^(2))+5\]
Нам потрібно знайти похідну в точці 2. Давайте підставимо:
\[(x)"\left(2 \right)=-((2)^(4))+4\cdot ((2)^(3))-3\cdot ((2)^(2)) +5=\]
\[=-16+32-12+5=9\]
Ось і все, ми знайшли остаточну відповідь. Отже, швидкість нашої матеріальної точки в момент часу $t=2c$ становитиме 9 м/с.
Приклад №2
Матеріальна точка рухається згідно із законом:
де $x$ — відстань від точки відліку за метри, $t$ — час у секундах, виміряне початку руху. У який момент часу її швидкість дорівнювала 3 м/с?
Погляньте, минулого разу від нас потрібно було знайти $v$ в момент часу 2 с, а цього разу від нас потрібно знайти той самий момент, коли ця швидкість дорівнюватиме 3 м/с. Можна сказати, що нам відомо кінцеве значення, а за цим кінцевим значенням потрібно знайти вихідне.
Насамперед, знову шукаємо похідну:
\[(x)"\left(t \right)=\frac(1)(3)\cdot 3((t)^(2))-4\cdot 2t+19\]
\[(x)"\left(t \right)=((t)^(2))-8t+19\]
Від нас просять знайти, в який момент часу швидкість дорівнюватиме 3 м/с. Складаємо та вирішуємо рівняння, щоб знайти фізичний зміст похідної:
\[((t)^(2))-8t+19=3\]
\[((t)^(2))-8t+16=0\]
\[((\left(t-4 \right))^(2))=0\]
Отримане число означає, що в момент часу 4 з $ v $ матеріальної точки, що рухається за вище описаним законом, якраз і дорівнюватиме 3 м / с.
Ключові моменти
У висновку давайте ще раз пробіжимося найголовнішим моментом сьогоднішнього завдання, а саме, за правилом перетворення відстань у швидкість і прискорення. Отже, якщо нам у завданні прямо описаний закон, що прямо вказує на відстань від матеріальної точки до точки відліку, то через цю формулу ми можемо знайти будь-яку миттєву швидкість (це просто похідна). Більше того, ми можемо знайти ще й прискорення. Прискорення, своєю чергою, дорівнює похідної від швидкості, тобто. другий похідний від відстані. Такі завдання трапляються досить рідко, тому сьогодні ми їх не розбирали. Але якщо ви побачите в умові слово "прискорення", нехай воно вас не лякає, досить просто знайти ще одну похідну.
Сподіваюся, цей урок допоможе вам підготуватися до ЄДІ з математики.
Досі поняття похідної ми пов'язували з геометричним уявленням графіка функції. Однак було б грубою помилкою обмежувати роль поняття похідної одним лише завданням про
визначення нахилу дотичної до даної кривої. Ще більш важливою, з наукової точки зору, завданням є обчислення швидкості зміни будь-якої величини мінливої з часом. Саме з цього боку Ньютон і підійшов до диференційного числення. Зокрема, Ньютон прагнув проаналізувати явище швидкості, розглядаючи час і положення частинки, що рухається, як змінні величини (за висловом Ньютона, «флюенти»). Коли деяка частка рухається вздовж осі х, то її рух цілком визначено, якщо задана функція вказує положення частинки х у будь-який момент часу t. «Рівномірний рух» з постійною швидкістю по осі х визначається лінійною функцією де є положення частинки в початковий момент
Рух частки на площині описується вже двома функціями
які визначають її координати як функції часу. Зокрема, рівномірному руху відповідають дві лінійні функції
де дві «компоненти» постійної швидкості, а і з - координати початкового положення частки (при траєкторії частки є пряма лінія, рівняння якої
виходить шляхом виключення із двох вартих вище співвідношень.
Якщо частка рухається у вертикальній площині х, під дією однієї лише сили тяжіння, то рух її (це доводиться в елементарній фізиці) визначено двома рівняннями
де постійні величини, що залежать від стану частки в початковий момент, прискорення сили тяжіння дорівнює приблизно 9,81, якщо час вимірюється в секундах, а відстань - в метрах. Траєкторія руху, що отримується шляхом виключення з двох даних рівнянь, є парабола
якщо в іншому випадку траєкторією є відрізок вертикальної осі.
Якщо частка змушена рухатися деякою даною кривою (подібно до того як поїзд рухається по рейках), то рух її може бути визначено функцією (функцією часу рівної довжині дуги обчислюваної вздовж даної кривої від деякої початкової точки до положення частинки в точці Р в момент часу Наприклад, якщо йдеться про одиничному колі, то функція визначає на цьому колі рівномірний обертальний рух зі швидкістю с.
Вправа. Накреслити траєкторії плоских рухів, заданих рівняннями: в описаному вище параболічному русі припустити початкове положення частинки (при початку координат і вважати Знайти координати найвищої точки траєкторії. Знайти час і значення х, відповідні вторинному перетину траєкторії з віссю
Першою метою, яку поставив собі Ньютон, було знаходження швидкості частки, що рухається нерівномірно. Розглянемо для простоти рух частинки вздовж деякої прямої лінії, заданий функцією Якби рух був рівномірним, тобто відбувався з постійною швидкістю, то цю швидкість можна було б знайти, взявши два моменти часу і відповідні їм положення частинок і склавши відношення
Наприклад, якщо виміряно в годиннику, а ; в кілометрах, то при різниці буде число кілометрів, пройдених за 1 годину, швидкість (кілометрів на годину). Говорячи, що швидкість є величина постійна, мають на увазі лише те, що різницеве ставлення
не змінюється за будь-яких значеннях Але якщо рух нерівномірний (що має, наприклад, місце при вільному падінні тіла, швидкість якого в міру падіння зростає), то відношення (3) не дає значення швидкості в момент а являє собою те, що прийнято називати середньою швидкістю у проміжку часу від до Щоб отримати швидкість в момент потрібно обчислити межу середньої
Таким чином, разом з Ньютоном визначимо швидкість так:
Іншими словами, швидкість є похідна від «пройденого шляху» (координати частки на прямий) за часом, або «миттєва швидкість зміни» шляху по відношенню до часу - на противагу середньої швидкості зміни, що визначається за формулою (3).
Швидкість зміни самої швидкості називається прискоренням. Прискорення - це похідна від похідної; воно зазвичай позначається символом і називається другою похідною від функції
Галілей зауважив, що вертикальна відстань х, що проходить при вільному падінні тіла протягом часу виражається формулою
Процедура, яку ми щойно виконали, настільки часто зустрічається в математиці, що для величин ε і х було придумано спеціальне позначення: ε позначається як ∆t, а х - як ∆s. Величина ∆t означає "невеликий добавок до t", причому мається на увазі, що цей добавок можна робити менше. Значок ∆ в жодному разі не означає множення на якусь величину, так само, як sin θ не означає s·i·n·0. Це просто деякий додаток на час, причому значок ∆ нагадує нам про його особливий характер. Ну, а якщо ∆ не множник, його не можна скоротити щодо ∆s/∆t. Це все одно, що у виразі sin θ/sin 2θ скоротити всі літери та отримати 1/2. У цих нових позначеннях швидкість дорівнює межі відношення ∆s/∆t при ∆t, що прагне нуля, тобто.
Це, по суті, формула (8.3), але тепер ясніше видно, що тут все змінюється, а, крім того, вона нагадує, які саме величини змінюються.
Існує ще один закон, який виконується із хорошою точністю. Він говорить: зміна відстані дорівнює швидкості, помноженої на інтервал часу, протягом якого ця зміна сталося, тобто ∆s = υ∆t. Це правило суворо справедливе лише тоді, коли швидкість не змінюється протягом інтервалу ∆t, а це, взагалі кажучи, відбувається, тільки коли ∆t досить мало. У таких випадках зазвичай пишуть ds = υdt, де під dt мають на увазі інтервал часу ∆t за умови, що він як завгодно малий. Якщо інтервал ∆t досить великий, швидкість за цей час може змінитися і вираз ∆s = υ∆t буде вже наближеним. Однак якщо ми пишемо dt, то при цьому мається на увазі, що інтервал часу необмежено малий і в цьому сенсі вираз ds = t точно. У нових позначеннях вираз (8.5) має вигляд
Величина ds/dt називається "похідною s по t" (така назва нагадує про те, що змінюється), а складний процес знаходження похідної називається, крім того; диференціюванням. Якщо ж ds і dt з'являються окремо, а чи не як відношення ds/dt, вони носять назви диференціалів. Щоб краще познайомити вас з новою термінологією, скажу ще, що в попередньому параграфі ми знайшли похідну від функції 5t 2 або просто похідну від 5t 2 . Вона виявилася рівною 10t. Коли ви більше звикнете до нових слів, вам стане зрозуміліша сама думка. Для тренування знайдемо похідну більш складної функції. Розглянемо вираз s = At 3 + Bt + С, який може описувати рух точки. Літери А, В, С, так само як і у звичайному квадратному рівнянні, позначають постійні числа. Нам потрібно знайти швидкість руху, що описується цією формулою у будь-який момент часу t. Розглянемо для цього момент t + ∆t, причому до s додасться деяка добавка ∆s, і знайдемо, як виражається ∆s через ∆t. Оскільки
Але нам потрібна не сама величина ∆s, а відношення ∆s/∆t. Після поділу на ∆t отримаємо вираз
яке після устремління ∆t до нуля перетвориться на
У цьому полягає процес взяття похідної або диференціювання функцій. Насправді він трохи легший, ніж це здається на перший погляд. Зауважте, що якщо в розкладах, подібних до попередніх, зустрічаються члени, пропорційні (∆t) 2 або (∆t) 3 або ще вищим ступеням, то їх можна відразу викреслити, оскільки вони все одно звернуться в нуль, коли в кінці ми будемо ∆t спрямовувати до нуля. Після невеликого тренування ви відразу бачитимете, що потрібно залишати, а що відразу відкидати. Існує багато правил та формул для диференціювання різних видів функцій. Їх можна або запам'ятати, або скористатися спеціальними таблицями. Невеликий перелік таких правил наводиться у табл. 8.3.
