У розділі 4.3 вже зазначалося, щопевний інтеграл () від

Невід'ємна функція чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції = (), Прямими = , = І = 0.

Приклад 4.24. Обчислити площу фігури, укладеної між віссю та синусоїдою = sin (рисунок 4.6).

Якщо фігура не є криволінійною трапецією, то її площу намагаються подати у вигляді суми або різниці площ фігур, що є криволінійними трапеціями. Зокрема справедлива теорема.

Теорема 4.13. Якщо фігура обмежена знизу та зверху графіками безперервних функцій = 1 (), = 2 () (не обов'язково невід'ємних, (малюнок 4.7 ), то її площу можна знайти за формулою

2 () − 1 () .

Приклад 4.25. Обчислити площу фігури, обмеженою кривою = 4 та прямими = і = 4.

Частина I. Теорія

Розділ 4. Теорія інтегрування 4.4. Програми інтеграла. Невласні інтеграли

4.4.2. Довжина дуги кривої

Обчислення довжин кривих також призводить до інтегралів. Нехай функція = () безперервна на відрізку [ ; ] та диференційована на інтервалі (;). Її графік представляє деяку криву, (; ()), (; ()) (рисунок 4.9). Криву розіб'ємо точками 0 = , 1, 2,. . . , = Довільних частин. З'єднаємо дві сусідні точки −1 і хордами = 1, 2, . . . , . Отримаємо -ланкову ламану, вписану в криву. Нехай

є довжина хорди −1 = 1, 2, . . . = max16 6 . Довжина ламаної висловлюватиметься формулою

Природно визначити довжину кривої як граничне значення довжин ламаних, коли 0, тобто.

Тоді координати точок є (; ()), і, користуючись формулою для відстані між двома точками, знайдемо

Отже, є інтегральна сума функції √ 1 + (′ ())2 на відрізку [ ; ]. Тоді на підставі рівностей (4.31) маємо:

Рішення. Побудуємо графік зазначеної функції (рисунок 4.10).

Малюнок 4.10

Обчислення площі фігури– це, мабуть, одне з найскладніших завдань теорії площ. У шкільній геометрії вчать знаходити площі основних геометричних фігур таких як, наприклад, трикутник, ромб, прямокутник, трапеція, коло тощо. Однак найчастіше доводиться стикатися з обчисленням площ складніших фігур. Саме під час вирішення таких завдань дуже зручно використовувати інтегральне числення.

Визначення.

Криволінійною трапецієюназивають деяку фігуру G, обмежену лініями y = f(x), у = 0, х = а та х = b, причому функція f(x) безперервна на відрізку [а; b] і не змінює на ньому свій знак (Рис. 1).Площу криволінійної трапеції можна позначити S(G).

Певний інтеграл а b f(x)dx для функції f(x), що є безперервною і невід'ємною на відрізку [а; b], і є площу відповідної криволінійної трапеції.

Тобто, щоб знайти площу фігури G, обмеженою лініями y = f(x), у = 0, х = а та х = b, необхідно обчислити певний інтеграл ʃ а b f(x)dx.

Таким чином, S(G) = а b f(x)dx.

У разі якщо функція y = f(x) не позитивна на [а; b], то площа криволінійної трапеції може бути знайдена за формулою S(G) = -b b(x)dx.

приклад 1.

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = х3; у = 1; х = 2.

Рішення.

Задані лінії утворюють фігуру АВС, яка показана штрихуванням на Мал. 2.

Шукана площа дорівнює різниці між площами криволінійної трапеції DACE та квадрата DABE.

Використовуючи формулу S = b b(x)dx = S(b) – S(a), знайдемо межі інтегрування. Для цього вирішимо систему двох рівнянь:

(у = х 3
(У = 1.

Таким чином, маємо х 1 = 1 – нижню межу та х = 2 – верхню межу.

Отже, S = S DACE - S DABE = 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 / 4 | 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. од.).

Відповідь: 11/4 кв. од.

приклад 2.

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = √х; у = 2; х = 9.

Рішення.

Задані лінії утворюють фігуру АВС, яка обмежена зверху графіком функції

у = √х, а знизу графіком функції у = 2. Отримана фігура показана штрихуванням на Мал. 3.

Площу, що шукається, дорівнює S = ʃ а b (√x – 2). Знайдемо межі інтегрування: b = 9, для знаходження а, розв'яжемо систему двох рівнянь:

(у = √х,
(У = 2.

Таким чином, маємо, що х = 4 = а – це нижня межа.

Отже, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√х| 4 9 - 2х | 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. од.).

Відповідь: S = 2 2/3 кв. од.

приклад 3.

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = х 3 - 4х; у = 0; х ≥ 0.

Рішення.

Побудуємо графік функції у = х 3 – 4х при х ≥ 0. Для цього знайдемо похідну у':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критичні точки.

Якщо зобразити критичні точки на числовій осі і розставити знаки похідної, то отримаємо, що функція зменшується від нуля до 2/3 і зростає від 2/3 до плюс нескінченності. Тоді х = 2/√3 – точка мінімуму, мінімальне значення функції min = -16/(3√3) ≈ -3.

Визначимо точки перетину графіка з осями координат:

якщо х = 0, то у = 0, отже, А(0; 0) – точка перетину з віссю Оу;

якщо у = 0, то х 3 - 4х = 0 або х (х 2 - 4) = 0, або х (х - 2) (х + 2) = 0, звідки х 1 = 0, х 2 = 2, х 3 = -2 (не підходить, тому що х ≥ 0).

Точки А(0; 0) та В(2; 0) – точки перетину графіка з віссю Ох.

Задані лінії утворюють фігуру ОАВ, яка показана штрихуванням на Мал. 4.

Так як функція у = х 3 - 4х приймає на (0; 2) негативне значення, то

S = | 0 2 (x 3 - 4x) dx |.

Маємо: 0 2 (x 3 - 4х) dx = (x 4 / 4 - 4х 2 / 2) | 0 2 = -4, звідки S = ​​4 кв. од.

Відповідь: S = 4 кв. од.

приклад 4.

Знайти площу фігури, обмеженої параболою у = 2х 2 – 2х + 1, прямими х = 0, у = 0 і щодо до даної параболі в точці з абсцисою х 0 = 2.

Рішення.

Спочатку складемо рівняння дотичної до параболи у = 2х 2 – 2х + 1 у точці з абсцисою х₀ = 2.

Оскільки похідна y' = 4x – 2, то за х 0 = 2 отримаємо k = y'(2) = 6.

Знайдемо ординату точки дотику: у 0 = 2 · 2 2 - 2 · 2 + 1 = 5.

Отже, рівняння дотичної має вигляд: у - 5 = 6 (х - 2) або у = 6х - 7.

Побудуємо фігуру, обмежену лініями:

у = 2х 2 - 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х - 7.

Г у = 2х 2 - 2х + 1 - парабола. Крапки перетину з осями координат: А(0; 1) – з віссю Оу; з віссю Ох – немає точок перетину, т.к. рівняння 2х 2 – 2х + 1 = 0 немає рішень (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, тобто вершина параболи точка має координати В(1/2; 1/2).

Отже, фігура, площу якої потрібно визначити, показана штрихуванням на Мал. 5.

Маємо: S О A В D = S OABC - S ADBC.

Знайдемо координати точки D із умови:

6х - 7 = 0, тобто. х = 7/6, отже DC = 2 - 7/6 = 5/6.

Площа трикутника DBC знайдемо за формулою S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Таким чином,

S ADBC ​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. од.

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2х + 1)dx = (2x 3 /3 – 2х 2 /2 + х)| 0 2 = 10/3 (кв. од.).

Остаточно отримаємо: S О A В D = S OABC - S ADBC ​​= 10/3 - 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. од.).

Відповідь: S = 1 1/4 кв. од.

Ми розібрали приклади знаходження площ фігур, обмежених заданими лініями. Для успішного вирішення подібних завдань потрібно вміти будувати на площині лінії та графіки функцій, знаходити точки перетину ліній, застосовувати формулу для знаходження площі, що має на увазі наявність умінь та навичок обчислення певних інтегралів.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури

Переходимо до розгляду додатків інтегрального обчислення. На цьому уроці ми розберемо типове та найбільш поширене завдання – як за допомогою певного інтегралу обчислити площу плоскої фігури. Нарешті ті, хто шукає значення у вищій математиці - і знайдуть його. Мало чи. Доведеться ось у житті наближати дачну ділянку елементарними функціями і знаходити її площу за допомогою певного інтегралу.

Для успішного освоєння матеріалу необхідно:

1) Розбиратися у невизначеному інтегралі хоча б на середньому рівні. Таким чином, чайникам для початку слід ознайомитись з уроком Не.

2) Вміти застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца та обчислювати певний інтеграл. Налагодити теплі дружні стосунки із певними інтегралами можна на сторінці Визначений інтеграл. Приклади рішень.

Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтегралу» завжди передбачає побудову кресленняТому набагато актуальнішим питанням будуть ваші знання та навички побудови креслень. У зв'язку з цим корисно освіжити в пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, параболу та гіперболу. Зробити це можна (багатьом – потрібно) за допомогою методичного матеріалу та статті про геометричні перетворення графіків.

Власне, із завданням знаходження площі за допомогою певного інтеграла всі знайомі ще зі школи, і ми мало підемо вперед від шкільної програми. Цієї статті взагалі могло б і не бути, але справа в тому, що завдання зустрічається в 99 випадків зі 100, коли студент страждає від ненависної вежі із захопленням освоює курс вищої математики.

Матеріали даного практикуму викладено легко, докладно і з мінімумом теорії.

Почнемо з криволінійної трапеції.

Криволінійною трапецієюназивається плоска фігура, обмежена віссю , прямими і графіком безперервної на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:

Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст. На уроці Визначений інтеграл. Приклади рішенья говорив, що певний інтеграл це число. А зараз настав час констатувати ще один корисний факт. З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.

Тобто, певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

Це типове формулювання завдання. Перший та найважливіший момент рішення – побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім– параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково, з технікою поточкової побудови можна ознайомитись у довідковому матеріалі Графіки та властивості елементарних функцій. Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал – як швидко побудувати параболу.

У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

Штрихувати криволінійну трапецію я не буду, тут очевидно, про яку площу йдеться. Рішення продовжується так:

На відрізку графік функції розташований над віссютому:

Відповідь:

У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтегралу та застосуванням формули Ньютона-Лейбніца , зверніться до лекції Визначений інтеграл. Приклади рішень.

Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок у кресленні – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , та віссю

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссю?

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, Не вищеданої осі), то її площу можна знайти за формулою:
В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, то він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямий. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.
Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Техніка поточкової побудови для різних графіків детально розглянута у довідці Графіки та властивості елементарних функцій. Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

Повторюся, що за поточечному побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються «автоматом».

А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої безперервної функції , то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими , можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який – НИЖЧЕ.

У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Насправді шкільна формула для площі криволінійної трапеції у нижній напівплощині (див. простенький приклад №3) – окремий випадок формули . Оскільки вісь задається рівнянням, а графік функції розташований Не вищеосі , то

А зараз пара прикладів для самостійного вирішення

Приклад 5

Приклад 6

Знайти площу фігури, обмеженою лініями , .

У ході вирішення завдань на обчислення площі за допомогою певного інтегралу іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки – правильно, але через неуважність… знайдено площу не тієї фігури, саме так кілька разів лажався ваш покірний слуга. Ось реальний випадок із життя:

Приклад 7

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

…Ех, креслення хрінонький вийшов, але начебто все розбірливо.

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів. Дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямий;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Відповідь:

Переходимо ще до одного змістовного завдання.

Приклад 8

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями ,
Представимо рівняння в «шкільному» вигляді і виконаємо поточковий креслення:

З креслення видно, що верхню межу ми «хороший»: .
Але чому дорівнює нижня межа?! Зрозуміло, що це ціле число, але яке? Може бути ? Але де гарантія, що креслення виконано з ідеальною точністю, цілком може виявитися . Або корінь. А якщо ми взагалі неправильно збудували графік?

У таких випадках доводиться витрачати додатковий час та уточнювати межі інтегрування аналітично.

Знайдемо точки перетину прямої та параболи.
Для цього розв'язуємо рівняння:


,

Справді, .

Подальше рішення тривіально, головне, не заплутатися у підстановках та знаках, обчислення тут не найпростіші.

На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Ну, і на закінчення уроку, розглянемо два завдання складніше.

Приклад 9

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , ,

Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні

Блін, забув графік підписати, а переробляти картинку, вибачте, не хоче. Чи не креслярський, коротше, сьогодні день =)

Для поточкового побудови необхідно знати зовнішній вигляд синусоїди (і взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій), а також деякі значення синуса, їх можна знайти в тригонометричної таблиці. У ряді випадків (як у цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки та межі інтегрування.

З межами інтегрування тут проблем немає, вони випливають з умови: – «ікс» змінюється від нуля до «пі». Оформлюємо подальше рішення:

На відрізку графік функції розташований над віссю, тому:

Приклад1 . Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: х + 2у - 4 = 0, у = 0, х = -3, і х = 2

Виконаємо побудову фігури (див. рис.) Будуємо пряму х + 2у – 4 = 0 за двома точками А(4;0) та В(0;2). Виразивши у через х отримаємо у = -0,5х + 2. За формулою (1), де f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, знаходимо

S = = [-0,25 = 11,25 кв. од

приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 та у = 0.

Рішення. Виконаємо побудову фігури.

Побудуємо пряму х - 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А (-4; 0); х = 0, у = 2, (0; 2).

Побудуємо пряму х + у - 5 = 0: у = 0, х = 5, С (5; 0), х = 0, у = 5, D (0; 5).

Знайдемо точку перетину прямих, розв'язавши систему рівнянь:

х = 2, у = 3; М(2; 3).

Для обчислення шуканої площі розіб'ємо трикутник АМС на два трикутники АМN і NМС, тому що при зміні х від А до N площа обмежена прямою, а при зміні х від N до С - прямий

Для трикутника АМN маємо: ; у = 0,5 х + 2, тобто f(x) = 0,5 х + 2, a = - 4, b = 2.

Для трикутника NМС маємо: y = – x + 5, тобто f(x) = – x + 5, a = 2, b = 5.

Обчисливши площу кожного з трикутників та склавши результати, знаходимо:

кв. од.

кв. од.

9+4,5 = 13,5 кв. од. Перевірка: = 0,5 АС = 0,5 кв. од.

приклад 3. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3

В даному випадку потрібно обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої параболою y = x 2 , Прямими x = 2 і x = 3і віссю Ох(див. рис.) За формулою (1) знаходимо площу криволінійної трапеції

= = 6кв. од.

приклад 4. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: у = - x 2 + 4 та у = 0

Виконаємо побудову фігури. Шукана площа укладена між параболою у = - x 2 + 4 та віссю Ох.

Знайдемо точки перетину параболи із віссю Ох. Вважаючи у = 0, знайдемо х = Так як ця фігура симетрична щодо осі Оу, то обчислимо площу фігури, розташованої праворуч від осі Оу, і отриманий результат вдвох: = +4x] кв. од. 2 = 2 кв. од.

Приклад 5. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Тут потрібно обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженою верхньою гілкою параболиy 2 = x, віссю Ох і прямими x = 1x = 4 (див. рис.)

За формулою (1), де f(x) = a = 1 та b = 4 маємо = (= кв. од.

Приклад 6 . Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .

Шукана площа обмежена напівхвильової синусоїди та віссю Ох (див. рис.).

Маємо – cosx = – cos = 1 + 1 = 2 кв. од.

Приклад 7. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = - 6х, у = 0 та х = 4.

Фігура розташована під віссю Ох (див. мал.).

Отже, її площу знаходимо за формулою (3)

= =

Приклад 8. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = і х = 2. Криву y = збудуємо за точками (див. рис.). Таким чином, площу фігури знаходимо за формулою (4)

Приклад 9 .

х 2 + у 2 = r 2 .

Тут потрібно обчислити площу, обмежену колом х 2 + у 2 = r 2 , тобто площа кола радіуса r з центром на початку координат. Знайдемо четверту частину цієї площі, взявши межі інтегрування від 0

доr; маємо: 1 = = [

Отже, 1 =

приклад 10. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: у = х 2 і у = 2х

Дана фігура обмежена параболою у = х 2 і прямий у = 2х (див. рис.) Для визначення точок перетину заданих ліній розв'яжемо систему рівнянь:х 2 - 2х = 0 х = 0 і х = 2

Використовуючи для знаходження площі формулу (5), отримаємо

= площа криволінійної трапеції, утвореної функцією f,дорівнює прирощенню первісної цієї функції:

Завдання 1:

Знайти площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції: f(x) = х 2та прямими у = 0, х = 1, х = 2.

Рішення: ( за алгоритмом слайд 3)

Накреслимо графік функції та прямі

Знайдемо одну з первісних функцій f(x) = х 2 :

Самоперевірка по слайду

Інтеграл

Розглянемо криволінійну трапецію, задану функцією fна відрізку [ a; b]. Розіб'ємо цей відрізок на кілька частин. Площа всієї трапеції розіб'ється на суму площ дрібніших криволінійних трапецій. ( слайд 5). Кожну таку трапецію можна вважати прямокутником. Сума площ цих прямокутників дає наближене уявлення про всю площу криволінійної трапеції. Чим дрібніше ми розіб'ємо відрізок [ a; b], тим точніше обчислимо площу.

Запишемо ці міркування як формул.

Розділимо відрізок [ a; b] на n частин крапками х 0 = а, х1, ..., хn = b.Довжину k-го позначимо через хk = xk - xk-1. Складемо суму

Геометрично ця сума є площа фігури, заштрихованої на малюнку ( щ.м.)

Суми виду називаються інтегральними сумами для функції f. (Щ.м.)

Інтегральні суми дають наближене значення площі. Точне значення виходить з допомогою граничного переходу. Припустимо, що ми подрібнюємо розбиття відрізка [ a; b] отже довжини всіх маленьких відрізків прагнуть нулю. Тоді площа складеної фігури наближатиметься до площі криволінійної трапеції. Можна сказати, що площа криволінійної трапеції дорівнює межі інтегральних сум, Sк.т. (Щ.м.)або інтегралу, тобто,

Визначення:

Інтегралом функції f(х)від aдо bназивається межа інтегральних сум

= (Щ.м.)

Формула Ньютона-Лейбніца.

Пам'ятаємо, що межа інтегральних сум дорівнює площі криволінійної трапеції, отже, можна записати:

Sк.т. = (Щ.м.)

З іншого боку, площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою

S к. т. (Щ.м.)

Порівнюючи ці формули, отримаємо:

Ця рівність називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Для зручності обчислень формулу записують у вигляді:

Завдання: (щ.м.)

1. Обчислити інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца: ( перевіряємо за слайдом 5)

2. Скласти інтеграли за кресленням ( перевіряємо за слайдом 6)

3. Знайти площу фігури, обмеженої лініями: у = х 3, у = 0, х = 1, х = 2. Слайд 7)

Знаходження площ плоских фігур ( слайд 8)

Як знайти площу фігур, які не є криволінійними трапеціями?

Нехай дані дві функції, графіки яких ви бачите на слайді . (Щ.м.)Необхідно знайти площу зафарбованої фігури . (Щ.м.). Фігура, про яку йдеться, є криволінійною трапецією? А як можна знайти її площу, користуючись властивістю адитивності площі? Розглянути дві криволінійні трапеції і з площі однієї з них відняти площу іншої ( щ.м.)

Складемо алгоритм знаходження площі з анімації на слайді:

1. Побудувати графіки функцій
2. Спроектувати точки перетину графіків на вісь абсцис
3. Заштрихувати фігуру, отриману під час перетину графіків
4. Знайти криволінійні трапеції, перетин чи об'єднання яких є ця фігура.
5. Обчислити площу кожної з них
6. Знайти різницю чи суму площ

Як отримати площу заштрихованої фігури (розповісти за допомогою анімації, слайд 8 та 9)

Домашнє завдання:Опрацювати конспект, №353(а), №364(а).

Список літератури

1. Алгебра та початку аналізу: підручник для 9-11 класів вечірньої (змінної) школи / за ред. Г.Д. Глейзер. - М: Просвітництво, 1983.
2. Башмаков М.І. Алгебра та початку аналізу: навчальний посібник для 10-11 кл.сред.шк./ Башмаков М.І. - М: Просвітництво, 1991.
3. Башмаков М.І. Математика: підручник для установ на поч. та середовищ. проф. освіти/М.І. Черевики. – М: Академія, 2010.
4. Колмогоров А.М. Алгебра та початки аналізу: підручник для 10-11 кл. загальноосвітніх установ/А.Н.Колмогоров. – М: Просвітництво, 2010.
5. Островський С.Л. Як зробити презентацію до уроку? / C.Л. Островський. - М.: Перше вересня, 2010.