Дві прямі AB та CD називаються паралельними якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються, скільки б їх не продовжувати (AB||CD). Кут між паралельними прямими дорівнює нулю.

Довжина відрізка перпендикуляра, укладеного між двома паралельними прямими,- відстаньміж ними.

Аксіома:через точку, що не лежить на цій прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій.

Властивості паралельних прямих:

1. Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні між собою.

2. Якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні один одному.

При перетині двох паралельних прямих третьої прямої,утворюються вісім кутів (рис.13), які попарно називаються:

1) відповідні кути (1 і 5; 2 і 6; 3 і 7; 4 і 8 );

кути попарно рівні: (https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif" width="11" height="10 src="> 5; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif" width="11" height="10"> 6; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif" width="11" height="10"> 7; https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif" width="11" height="10"> 8 );

2) внутрішні навхрест лежачі кути (4 і 5; 3 і 6 ); вони попарно рівні;

3) зовнішні навхрест лежачі кути(1 і 8; 2 і 7 ); вони попарно рівні;

4) внутрішні односторонні кути (3 і 5; 4 і 6 ); сума односторонніх кутів дорівнює 180°

(https://pandia.ru/text/78/187/images/image003_66.gif" width="11" height="10"> 5 = 180 °; 4 + 6 = 180 °);

5) зовнішні односторонні кути (1 і 7; 2 і 8 ); їх сума дорівнює 180 °. 7 = 180 °; 2 + 8 = 180 °).

Теорема Фалес. При перетині сторін кута паралельними прямими(Рис.16) сторони кута поділяються на пропорційні відрізки:

Подібні трикутники.

Два трикутники називаються подібнимиякщо їх кути відповідно рівні і сторони одного трикутника пропорційні подібним сторонам іншого. ПодібніСторони подібних трикутників - це сторони, що лежать навпроти рівних кутів.

https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif" alt="подібні трикутники" width="13" height="14">A = !} https://pandia.ru/text/78/187/images/image006_51.gif" alt="подібні трикутники" width="13" height="14">B = B1, С = С1 !}і Число k, що дорівнює відношенню подібних сторін трикутника називається коефіцієнтом подібності.

Ознаки подібності:

1. Якщо два кути одноготрикутника відповідно рівні двом кутаміншого, то треуг-ки подібні.

2. Якщо дві сторониодного трикутника пропорційні двом сторонам іншоготрикутника і кути, ув'язнені між цими сторонами, рівніто трикутники подібні.

3. Якщо три сторони одноготрикутника пропорційні трьом сторонам іншого, то такі трикутники подібні.

Наслідки: 1.Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності:

2. Ставлення периметрівподібних трикутників і бісектрис, медіан, висот і серединних перпендикулярів дорівнює коефіцієнту подібності.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Паралельні прямі. Відстань між паралельними прямими.
.

Відповідні кути .
Внутрішні та зовнішні навхрест лежачі кути .

Внутрішні та зовнішні односторонні кути .

Кути з відповідно перпендикулярними сторонами .
Пропорційні відрізки . Теорема Фалес.

Дві прямі AB та CD (рис.11) називаються паралельнимиякщо вони лежать в одній площині і не перетинаються, скільки б їх не продовжувати. Позначення: AB || CD . Всі точки однієї паралельної прямої знаходяться на однаковій відстані від іншої паралельної прямої. Усі прямі, паралельні одній прямій, паралельні між собою. Прийнято вважати, що кут між паралельними прямими дорівнює нулю. Кут між двома паралельними променямидорівнює нулю, якщо у них однакові напрямки, і 180° , якщо їх напрями протилежні. Усе перпендикуляри ( AB, CD, EF , рис.12) до однієї і тієї ж прямої KM паралельніміж собою. Назад, пряма KM , перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, перпендикулярна та до інших. Довжинавідрізка перпендикуляра, укладеного між двома паралельними прямими, є відстаньміж ними.

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Кут між прямими

Цілі та завдання уроку: Сформувати поняття кута між: Перетинаючими; Паралельними; схрещуються прямими. Навчитися знаходити кут між: Пересічний; паралельними; схрещуються прямими.

Згадаймо: Основа призми ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – трапеція. Які з наступних пар прямих є схрещуючими?

Розташування прямих у просторі та кут між ними 1. Пересічні прямі. 2. Паралельні прямі. 3. Схрещувальні прямі.

Будь-які дві прямі прямі лежать в одній площині і утворюють чотири нерозгорнуті кути.

Якщо прямі, що перетинаються, утворюють чотири рівних кута, то кут між цими прямими дорівнює 90°. а b

Кут між двома паралельними прямими дорівнює 0°.

Кутом між двома прямими, що перетинаються, в просторі називається найменший з кутів, утворених променями цих прямих з вершиною в точці їх перетину.

Кутом між схрещуються прямими a і b називається кут між побудованими перетинаються прямими і.

Кут між прямими схрещуються, як і між прямими однієї площини, не може бути більше 90°. Дві схрещувальні прямі, які утворюють кут 90°, називаються перпендикулярними. a b a 1 c c 1 d

Кут між схрещуючими прямими Нехай AB і CD – дві прямі, що схрещуються. Візьмемо довільну точку М 1 простору і проведемо через неї прямі А 1 В 1 і C 1 D 1 відповідно паралельні прямим AB і CD . А В C D А 1 В 1 C 1 D 1 M 1 φ Якщо кут між прямими А 1 В 1 і C 1 D 1 дорівнює φ, то будемо говорити, що кут між прямими АВ і CD, що схрещуються, дорівнює φ.

Знайдемо кут між схрещувальними прямими AB і CD В якості точки M 1 можна взяти будь-яку точку на одній з прямих, що схрещуються. А В C D M 1 А 1 В 1 φ

Фізкультхвилинка для очей

Покажіть перпендикулярні прямі, що схрещуються, в оточенні.

Дано зображення куба. Знайдіть кут між прямими а і b , що схрещуються . 90° 45° Відповідь Відповідь

Дано зображення куба. Знайдіть кут між прямими а і b , що схрещуються . 90° 60° Відповідь Відповідь

Дано зображення куба. Знайдіть кут між схрещувальними прямими а і b 90° 90° Відповідь Відповідь

Домашнє завдання: §4 (стор. 85-89), №268, №269.

Фізкультхвилинка

Завдання №1 У правильній піраміді SABCD , всі ребра якої дорівнюють 1, точка E – середина ребра SC . Знайдіть кут між прямими AD та BE.

Робота в класі: Завдання: № 263 №265 №267

Попередній перегляд:

ЗАТВЕРДЖУЮ

Вчитель математики

Л. Р. Вільняк

«__» ________ 2016р.

Тема : "Кут між прямими"

Навчальні:

Розвиваючі:

Виховні:

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.

Методи: словесний (оповідання), наочний (презентація), діалогічний.

1. Організаційний момент.

• Вітання.

1. Актуалізація знань.

1. Яким є взаємне розташування двох прямих у просторі?
2. Скільки кутів утворюється при перетині двох прямих у просторі?
3. Як визначити кут між прямими, що перетинаються?

Слад3

1. Підстава призми ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - Трапеція. Які з наступних пар прямих є схрещуючими?

Відповідь: ABі CC 1 ,A 1 D 1 та CC 1 .

1. Вивчення нового матеріалу.

Слайд 4

Розташування прямих у просторі та кут між ними.

1. Пересічні прямі.
2. Паралельні прямі.
3. Схрещуються прямі.

Слайд 5

Будь-які дві прямі прямі лежать в одній площині і утворюють чотири нерозгорнуті кути.

Слайд 6

Якщо прямі, що перетинаються, утворюють чотири рівних кута, то кут між цими прямими дорівнює 90°.

Слайд 7

Кут між двома паралельними прямими дорівнює 0°.

Слайд 8

Кутом між двома прямими, що перетинаються, в просторі називається найменший з кутів, утворених променями цих прямих з вершиною в точці їх перетину.

Слайд 9 a та b і .

Слайд 10

Кут між прямими схрещуються, як і між прямими однієї площини, не може бути більше 90°. Дві схрещувальні прямі, які утворюють кут 90°, називаються перпендикулярними.

Слайд 11

Кут між схрещуючими прямими.

Нехай ABі CD - дві прямі, що схрещуються.

Візьмемо довільну точку М 1 простору та проведемо через неї прямі А 1 В 1 та C 1 D 1 відповідно паралельні прямим AB і CD.

Якщо кут між прямими А 1 В 1 та C 1 D 1 дорівнює φ, то будемо говорити, що кут між прямими АВ і CD, що схрещуються, дорівнює φ.

Слайд 12

Знайдемо кут між прямими AB і CD, що схрещуються.

Як точка M 1 можна взяти будь-яку точку на одній з прямих, що схрещуються.

Слайд 13

Фізкультхвилинка

Слайд 14

1. Покажіть перпендикулярні прямі, що схрещуються, в оточенні.

Слайд 15

2. Дано зображення куба. Знайдіть кут між прямими а і b, що схрещуються.

а) 90 °; б) 45 °;

Слайд 16

в) 60 °; г) 90 °;

Слайд 17

д) 90 °; е) 90 °.

1. Закріплення нового матеріалу

Слайд 19

Фізкультхвилинка

Слайд 20

№1.

У правильній піраміді SABCD , всі ребра якої дорівнюють 1, точка E - середина ребра SC .Знайдіть кут між прямими AD і BE.

Рішення:

Шуканий кут = кутку CBE .Трикутник SBC-рівносторонній.

ВE - бісектриса кута = 60. Кут CBE дорівнює 30.

Відповідь: 30 °.

№263.

Відповідь:

Кутом між схрещуються прямими a і b називається кут між побудованими пересічними прямими a 1 та b 1 , причому a 1 || a, b 1 || b.

№265.

Кут між прямими і дорівнює 90 °. Чи вірно, що прямі aі bперетинаються?

Відповідь:

Неправильно, оскільки прямі можуть або перетинатися, або схрещуватися.

№267.

DABC – тетраедр, точка О і F – середини ребра AD і CD відповідно, відрізок TK – середня лінія трикутника ABC.

1. Чому дорівнює кут між прямими OFі CB?
2. Чи вірно, що кут між прямими OFі TK дорівнює 60 °?
3. Чому дорівнює кут між прямими TF і DB?

Рішення:

Дано: DABC,

Про – середина AD,

F – середина CD,

ТК – середня лінія ∆АВС.

Рішення:

1. Рефлексія

• Що ми впізнали нового?
• Чи впоралися ми з тими завданнями, які були задані на початку уроку?
• Які завдання ми навчилися вирішувати?

1. Домашнє завдання.

§4 (стор. 85-89), №268, №269.

Попередній перегляд:

ЗАТВЕРДЖУЮ

Вчитель математики

Л. Р. Вільняк

«__» ________ 2016р.

Тема : "Кут між прямими"

Навчальні: за допомогою практичних завдань забезпечити розуміння учнями визначення кута між прямими, що перетинаються, паралельними і схрещуються;

Розвиваючі: розвивати просторову уяву учнів під час вирішення геометричних завдань, геометричне мислення, інтерес до предмета, пізнавальну та творчу діяльність учнів, математичну мову, пам'ять, увагу; виробляти самостійність у освоєнні нових знань.

Виховні: виховувати в учнів відповідальне ставлення до навчальної праці, вольові якості; формувати емоційну культуру та культуру спілкування.

Тип уроку: узагальнення та систематизація знань та умінь.

Методи: словесний (оповідання), діалогічний.

1. Організаційний момент.

• Вітання.
• Повідомлення цілей та завдань уроку.
• Мотивація вивчення нового матеріалу.
• Психолого-педагогічна настройка учнів майбутню діяльність.
• Перевірка присутніх на уроці;

1. Перевірка домашнього завдання

№268

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - Прямокутний паралелепіпед, точка О і Т - середини ребер СС 1 та DD 1 відповідно. а) Чи правильно, що кут між прямими AD та TO дорівнює 90°? б)Чому дорівнює кут між прямими A 1 B 1 та BC?

Рішення:

а) Правильно, оскільки TO | DC =>(AD, TO) = ADC = 90 ° (ABCD - прямокутник).

б) BC || B 1 C 1 => (A 1 B 1 BC) = A 1 B 1 C 1 = 90°.

Відповідь: 90 °, 90 °.

№269

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. а) Чи правильно, що кут між прямими A 1 B та C 1 D дорівнює 90 °? б) Знайдіть кут між прямими В 1 Про і C 1 D. в) Чи правильно, що кут між прямими АС та C 1 D дорівнює 45 °?

Рішення:

а) Правильно, тому що В 1 А || C 1 D => (A 1 B, C 1 D)= (B 1 A, A 1 B) = 90 °, як кут між діагоналями квадрата.

б) 1. У 1 А || C 1 D => (B 1 O, C 1 D) = AB 1 O.

2. у Δ AB 1 С AB 1 = В 1 С = АС як діагоналі рівних квадратів 1 О – медіана та бісектриса AB 1 С = 60 ° => AB 1 O = 30 °.

в) ні, оскільки C 1 D | BA => (AС, C 1 D) = B 1 АC=60° як кут рівностороннього AB 1 З.

Відповідь: б) 30 °.

1. Актуалізація знань.

Метод: фронтальне опитування (усно):

1. Які розділи вивчає геометрія?
2. Чому дорівнює кут між паралельними прямими?
3. Які постаті вивчає планіметрія, а які стереометрія?
4. Який кут називається таким, що схрещується?
5. Як називаються дві прямі схрещуються, які утворюють кут 90 °?

1. Закріплення вивченого.

Диктант (10 хв):

Варіант 1:

Ребро куба одноа.

Знайти: (АВ 1, СС 1)

Рішення:

СС1‖ВВ1

(АВ1, СС1) = АВ1В

АВ1В=45˚

Відповідь: (АВ1, СС1) = 45˚

1. Нехай а і b - прямі, що схрещуються, а пряма b 1 || b. Чи вірне твердження, що кут між прямими а і b дорівнює куту між прямими a і b 1 ? Якщо так, то чому?

Варіант 2:

1. Який кут називається кутом між схрещуючими прямими?

Ребро куба одноа.

перпендикулярність двох прямих.

1. Якщо прямі L 1 та L 2 задані загальними рівняннями

А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 і А 2 х + В 2 у + С 2 = 0,

то кут між ними дорівнює куту між їхніми нормалями, тобто між векторами (A1, B1) і (A2, B2). Отже,

Умови паралельності та перпендикулярності прямих теж зводяться до умов паралельності та перпендикулярності нормалей:

Умови паралельності, (7.11)

- Умова перпендикулярності. (7.12).

2. Якщо прямі задані канонічними рівняннями (7.5), за аналогією з пунктом 1 отримаємо:

, (7.13)

Умови паралельності, (7.14)

- Умова перпендикулярності. (7.16).

Тут і напрямні вектори прямих.

3. Нехай прямі L1 та L2 задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами (7.8)

у = k 1 x + b 1 і y = k 2 x + b 2 де , а α 1 і α 2 – кути нахилу прямих до осі Ох, то для кута між прямими справедлива рівність: φ = α 2 - α 1 . Тоді

Умова паралельності має вигляд: k 1 = k 2 (7.18)

умова перпендикулярності – k 2 =-1/k 1 , (7.19)

оскільки при цьому tg не існує.

Відстань від точки до прямої.

Розглянемо пряму L і проведемо перпендикуляр ОР до неї із початку координат (припускаємо, що пряма не проходить через початок координат). Нехай n - одиничний вектор, напрямок якого збігається з ОР. Складемо рівняння прямої L, до якого входять два параметри: р - Довжина відрізка ОР і α - Кут між ОР і Ох.

Для точки М, що лежить на L, проекція вектора ЗМ на пряму

ВР дорівнює р. З іншого боку, n OM=n·OM. Оскільки

n =(cos α , sin α ), a OM ={x,y), отримуємо, що

x cosα + y sinα = p,або

x cosα + y sinα - p = 0 - (7.20)

Шукане рівняння прямої Lзване нормальним

рівнянням прямої(термін «нормальне рівняння» пов'язаний

з тим, що відрізок ВРє перпендикуляром, або нормаллю, до цієї прямої).

Визначення 7.2.Якщо d- Відстань від точки Адо прямої L, то відхиленняδ точки Авід прямої Lє число + dякщо точка Аі початок координат лежать по різні боки від прямої L, і число - dякщо вони лежать по одну сторону від L.

Теорема 7.1.Відхилення точки А (х 0, у 0) від прямої L, Заданої рівнянням (7.20), визначається за формулою:

Доведення.

Проекція OQвектора ОА на напрям ВРдорівнює

n·OA =x 0 cosα + y 0 sinα. Звідси δ = PQ=OQ-OP=OQ-p=

x 0 cosα + y 0 sinα - p, що й потрібно було довести

Слідство.

Відстань від точки до прямої визначається так:

Зауваження. Для того, щоб привести загальне рівняння прямої до нормального вигляду, потрібно помножити його на число, причому знак вибирається протилежним знаку вільного члена Зу загальному рівнянні прямий. Це число називається нормуючим множником.

приклад. Знайдемо відстань від точки А(7,-3) до прямої, заданої рівнянням

3х + 4у + 15 = 0. А² + B²=9+16=25, C=15>0, тому нормуючий множник дорівнює

1/5, і нормальне рівняння прямої має вигляд: Підставивши в його ліву частину замість х і координати точки А,отримаємо, що її відхилення від прямої дорівнює

Отже, відстань від точки Адо цієї прямої дорівнює 4,8.

8. Пряма та площина у просторі. Рівняння площині та прямий у просторі. Кут між площинами. Кут між прямою та площиною.

Зазначимо, що багато тверджень і формул, що стосуються площини в просторі, доводяться і виводяться так само, як при вивченні прямої на площині, тому в цих випадках будуть надані посилання на попередню лекцію.

Площина у просторі.

Отримаємо спочатку рівняння площини, що проходить через точку М 0 (х 0, у 0, z 0) перпендикулярно вектору n = {A,B,C), що називається нормаллю до площини. Для будь-якої точки площини М(х, у, z) вектор М 0 М = {x - x 0 , y - y 0 , z - z 0) ортогональний вектор n , отже, їх скалярний добуток дорівнює нулю:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. (8.1)

Отримано рівняння, якому задовольняє будь-яка точка заданої площини – рівняння площини, що проходить через цю точку перпендикулярно даному вектору.

Після наведення подібних можна записати рівняння (8.1) як.