Производная в физике. Производная от координаты по времени есть скорость. x'(t)=v(t) Физический смысл производной. Первая производная от координаты

Переходя к физическим приложениям производной, мы будем использовать несколько иные обозначения те, которые приняты в физике.

Во-первых, меняется обозначение функций. В самом деле, какие функции мы собираемся дифференцировать? Этими функциями служат физические величины, зависящие от времени. Например, координата тела x(t) и его скорость v(t) могут быть заданы формулами вроде таких:

Имеется ещё одно обозначение производной, очень распространённое как в математике, так и в физике:

(читается ¾дэ икс по дэ тэ¿).

Остановимся подробнее на смысле обозначения (29 ). Математик понимает его двояко либо как предел:

либо как дробь, в знаменателе которой стоит приращение времени dt, а в числителе так называемый дифференциал dx функции x(t). Понятие дифференциала не сложно, но мы не будем его сейчас обсуждать; оно ждёт вас на первом курсе.

Физик, не скованный требованиями математической строгости, понимает обозначение (29 ) более неформально. Пусть dx есть изменение координаты за время dt. Возьмём интервал dt настолько маленьким, что отношение dx=dt близко к своему пределу (30 ) с устраивающей нас точностью.

И тогда, скажет физик, производная координаты по времени есть попросту дробь, в числителе которой стоит достаточно малое изменение координаты dx, а в знаменателе достаточно малый промежуток времени dt, в течение которого это изменение координаты произошло. Такое нестрогое понимание производной характерно для рассуждений в физике. Далее мы будем придерживаться именно этого физического уровня строгости.

Давайте вернёмся к исходному примеру (26 ) и посчитаем производную координаты, а заодно посмотрим на совместное использование обозначений (28 ) и (29 ):

x(t) = 1 + 12t 3t2 ) x(t) =dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t:

(Символ дифференцирования dt d перед скобкой это всё равно что штрих сверху за скобкой в прежних обозначениях.)

Обратите внимание, что вычисленная производная координаты оказалась равна скорости тела (27 ). Это не случайное совпадение, и нам нужно обсудить его более подробно.

2.1 Производная координаты

Прежде всего заметим, что скорость в (27 ) может быть как положительной, так и отрицательной. А именно, скорость положительна при t < 2, обращается в нуль при t = 2 и становится отрицательной при t > 2.

Как это понимать? Очень просто: мы имеем дело не с абсолютной величиной скорости, а с проекцией vx вектора скорости на ось X. Поэтому вместо (27 ) правильнее было бы написать:

Если вы забыли, что такое проекция вектора на ось, то прочитайте соответствующий раздел статьи ¾Векторы в физике ¿. Здесь мы напомним лишь, что знак проекции vx отражает связь направления скорости и направления оси X:

vx > 0 , тело движется в направлении оси X ; vx < 0 , тело движется против оси X.

(Например, если vx = 3 м/с, то это означает, что тело движется со скоростью 3 м/с в сторону, противоположную оси X.)

Поэтому в нашем примере (31 ) мы имеем следующую картину движения: при t < 2 тело движется в положительном направлении оси X и постепенно замедляется; при t = 0 тело останавливается; при t > 2 тело, разгоняясь, движется в отрицательном направлении оси X.

Допустим, что скорость тела по абсолютной величине равна v. Возможны два случая направления движения.

1. Если тело движется в положительном направлении оси X, то малое изменение координаты dx положительно и равно пути, проходимому телом за время dt. Поэтому

x = dx dt = v:

2. Если тело движется в отрицательном направлении оси X, то dx < 0. Путь за время dt равен dx, поэтому dx=dt = v или

x = dx dt = v:

Заметим теперь, что в первом случае vx = v, а во втором случае vx = v. Тем самым оба случая объединяются в одну формулу:

и мы приходим к важнейшему факту: производная координаты тела равна проекции скорости тела на данную ось.

Легко видеть, что работает признак возрастания (убывания) функции. А именно:

x > 0) vx > 0) тело двигается в направлении оси X) координата x увеличивается; x < 0) vx < 0) тело двигается против оси X) координата x уменьшается:

2.2 Ускорение

Скорость тела характеризует быстроту изменения его координаты. Но скорость также может меняться медленнее или быстрее. Характеристикой быстроты изменения скорости служит физическая величина, называемая ускорением.

Пусть, например, скорость автомобиля при равномерном разгоне увеличилась с v0 = 2 м/с до v = 14 м/с за время t = 3 с. Ускорение автомобиля вычисляется по формуле:

Таким образом, за одну секунду скорость автомобиля увеличивается на 4 м/с.

А чему равно ускорение, если скорость, наоборот, уменьшилась с v0 = 14 м/с до v = 2 м/с за то же время t = 3 c? Тогда по формуле (33 ) получаем:

За одну секунду, как видим, скорость уменьшается на 4 м/с.

Можно ли говорить об ускорении, если скорость меняется неравномерно? Конечно, можно, но только это будет мгновенное ускорение, которое также зависит от времени. Схема рассуждений вам уже хорошо знакома: в формуле (33 ) вместо промежутка времени t берём малый промежуток dt, вместо разности v v0 берём приращение dv скорости за время dt, и в результате получаем:

Таким образом, получается, что ускорение это производная скорости.

Формула (34 ), однако, не описывает все ситуации, которые возникают в механике. Например, при равномерном движении по окружности скорость тела не меняется по модулю, и в соответствии с (34 ) мы должны были бы получить a = v = 0. Но вы прекрасно знаете, что ускорение у тела имеется, оно направлено к центру окружности и называется центростремительным. Поэтому формула (34 ) нуждается в некоторой модификации.

Cвязана эта модификация с тем, что ускорение на самом деле является вектором. Оказывается, вектор ускорения показывает направление изменения скорости тела. Что это означает, мы сейчас выясним на простых примерах.

Пусть тело движется вдоль оси X. Давайте рассмотрим два случая направления ускорения: по оси X и против оси X соответственно.

1. Вектор ускорения ~a сонаправлен с осью X (рис. 18 ). Проекция ускорения на ось X положительна: ax > 0.

Рис. 18. ax > 0

В данном случае скорость изменяется в положительном направлении оси X. А именно:

Если тело движется вправо (vx > 0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Проекция скорости vx при этом также увеличивается.

Если тело движется влево (vx < 0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Но обратите внимание, что проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом увеличивается.

Таким образом, если ax > 0, то проекция скорости vx возрастает вне зависимости от того,

в каком направлении движется тело.

2. Вектор ускорения ~a направлен противоположно оси X (рис. 19 ). Проекция ускорения на ось X отрицательна: ax < 0.

Рис. 19. ax < 0

В данном случае скорость изменяется в отрицательном направлении оси X. А именно:

Если тело движется вправо (vx > 0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Проекция скорости vx при этом также уменьшается.

Если тело движется влево (vx < 0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Но проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом уменьшается.

Таким образом, если ax < 0, то проекция скорости vx убывает, и опять-таки вне зависимости от того, в каком направлении движется тело.

Обнаруженная в этих примерах связь знака проекции ускорения ax с возрастанием (убыванием) проекции скорости vx приводит нас к нужной модификации формулы (34 ):

Пример. Ещё раз вернёмся к примеру (26 ):

x = 1 + 12t 3t2

(координата измеряется в метрах, время в секундах). Последовательно дифференцируя два раза, получаем:

vx = x = 12 6t;

ax = vx = 6:

Как видим, ускорение постоянно по модулю и равно 6 м/с2 . Направлено ускорение в сторону, противоположную оси X.

Приведённый пример есть случай равноускоренного движения, при котором модуль и направление ускорения неизменны (или, короче говоря, ~a = const). Равноускоренное движение один из важнейших и часто встречающихся видов движения в механике.

Из данного примера нетрудно понять, что при равноускоренном движении проекция скорости является линейной функцией времени, а координата квадратичной функцией.

Пример. Рассмотрим более экзотический случай:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 .

До сих пор понятие производной мы связывали с геометрическим представлением графика функции. Однако было бы грубой ошибкой ограничивать роль понятия производной одной лишь задачей об определении наклона касательной к данной кривой. Еще более важной с научной точки зрения задачей является вычисление скорости изменения какой бы то ни было величины f (t) , меняющейся с течением времени t. Именно с этой стороны Ньютон и подошел к дифференциальному исчислению. В частности, Ньютон стремился проанализировать явление скорости, рассматривая время и положение движущейся частицы как переменные величины (по выражению Ньютона, "флюэнты"). Когда некоторая частица движется вдоль оси х, то ее движение вполне определено, раз задана функция х = f (t) , указывающая положение частицы х в любой момент времени t. "Равномерное движение" с постоянной скоростью b по оси х определяется линейной функцией х = а + bt , где а есть положение частицы в начальный момент (при t = 0 ).

Движение частицы на плоскости описывается уже двумя функциями

x = f(t), y = g(t),

которые определяют ее координаты как функции времени. В частности* равномерному движению соответствуют две линейные функции

x = a + bt, y = c + dt,

где b и d - две "компоненты" постоянной скорости, а a и с - координаты начального положения частицы (при t = 0 ); траекторией частицы является прямая линия, уравнение которой

(х - a) d - (y - с) b = 0

получается путем исключения t из двух стоящих выше соотношений.

Если частица движется в вертикальной плоскости х, у под действием одной лишь силы тяжести, то движение ее (это доказывается в элементарной физике) определено двумя уравнениями

где а, b, с, d - постоянные величины, зависящие от состояния частицы в начальный момент, а g - ускорение силы тяжести, равное приблизительно 9,81, если время измеряется в секундах, а расстояние - в метрах. Траектория движения, получаемая путем исключения t из двух данных уравнений, есть парабола

если только b≠0 ; в противном случае траекторией является отрезок вертикальной оси.

Если частица вынуждена двигаться по некоторой данной кривой (подобно тому как поезд движется по рельсам), то движение ее может быть определено функцией s (t) (функцией времени t), равной длине дуги s, вычисляемой вдоль данной кривой от некоторой начальной точки Р 0 до положения частицы в точке Р в момент времени t. Например, если речь идет о единичном круге х 2 + y 2 = 1 , то функция s = ct определяет на этом круге равномерное вращательное движение со скоростью с .

* Упражнение. Начертить траектории плоских движений, заданных уравнениями: 1) х = sin t, y = cos t; 2) х = sin 2t, y = cos 3t; 3) х = sin 2t, y = 2 sin 3t ; 4) в описанном выше параболическом движении предположить начальное положение частицы (при t = 0) в начале координат и считать b>0, d>0 . Найти координаты самой высокой точки траектории. Найти время t и значение х, соответствующие вторичному пересечению траектории с осью х.

Первой целью, которую поставил себе Ньютон, было нахождение скорости частицы, движущейся неравномерно. Рассмотрим для простоты движение частицы вдоль некоторой прямой линии, заданное функцией х = f (t) . Если бы движение было равномерным, т. е. совершалось с постоянной скоростью, то эту скорость можно было бы найти, взяв два момента времени t и t 1 и соответствующие им положения частиц f (t) и f (t 1) и составив отношение

Например, если t измерено в часах, а х в километрах, то при t 1 - t = 1 разность х 1 - х будет числом километров, пройденных за 1 час, а v - скоростью (в километрах в час). Говоря, что скорость есть величина постоянная, имеют в виду лишь то, что разностное отношение

не изменяется при любых значениях t и t 1 . Но если движение неравномерно (что имеет, например, место при свободном падении тела, скорость которого по мере падения возрастает), то отношение (3) не дает значения скорости в момент t, а представляет собой то, что принято называть средней скоростью в промежутке времени от t до t 1 . Чтобы получить скорость в момент t , нужно вычислить предел средней скорости при стремлении t 1 к t. Таким образом, следуя Ньютону, мы определим скорость так:

Другими словами, скорость есть производная от пройденного пути (координаты частицы на прямой) по времени, или "мгновенная скорость изменения" пути по отношению к времени - в противоположность средней скорости изменения, определяемой по формуле (3).

Скорость изменения самой скорости называется ускорением. Ускорение - это просто производная от производной; оно обычно обозначается символом f"(t) и называется второй производной от функции f (t).

Иногда в задаче B9 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» B9.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=x\left(t \right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.

Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.

Пример № 1

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.

Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.

Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:

\[{x}"\left(t \right)=-\frac{1}{5}\cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5\]

\[{x}"\left(t \right)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5\]

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:

\[{x}"\left(2 \right)=-{{2}^{4}}+4\cdot {{2}^{3}}-3\cdot {{2}^{2}}+5=\]

\[=-16+32-12+5=9\]

Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.

Пример № 2

Материальная точка движется по закону:

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:

\[{x}"\left(t \right)=\frac{1}{3}\cdot 3{{t}^{2}}-4\cdot 2t+19\]

\[{x}"\left(t \right)={{t}^{2}}-8t+19\]

От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:

\[{{t}^{2}}-8t+19=3\]

\[{{t}^{2}}-8t+16=0\]

\[{{\left(t-4 \right)}^{2}}=0\]

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

До сих пор понятие производной мы связывали с геометрическим представлением графика функции. Однако было бы грубой ошибкой ограничивать роль понятия производной одной лишь задачей об

определении наклона касательной к данной кривой. Еще более важной, с научной точки зрения, задачей является вычисление скорости изменения какой бы то ни было величины меняющейся с течением времени. Именно с этой стороны Ньютон и подошел к дифференциальному исчислению. В частности, Ньютон стремился проанализировать явление скорости, рассматривая время и положение движущейся частицы как переменные величины (по выражению Ньютона, «флюэнты»). Когда некоторая частица движется вдоль оси х, то ее движение вполне определено, раз задана функция указывающая положение частицы х в любой момент времени t. «Равномерное движение» с постоянной скоростью по оси х определяется линейной функцией где а есть положение частицы в начальный момент

Движение частицы на плоскости описывается уже двумя функциями

которые определяют ее координаты как функции времени. В частности, равномерному движению соответствуют две линейные функции

где две «компоненты» постоянной скорости, а а и с - координаты начального положения частицы (при траекторией частицы является прямая линия, уравнение которой

получается путем исключения из двух стоящих выше соотношений.

Если частица движется в вертикальной плоскости х, у под действием одной лишь силы тяжести, то движение ее (это доказывается в элементарной физике) определено двумя уравнениями

где постоянные величины, зависящие от состояния частицы в начальный момент, ускорение силы тяжести, равное приблизительно 9,81, если время измеряется в секундах, а расстояние - в метрах. Траектория движения, получаемая путем исключения из двух данных уравнений, есть парабола

если только в противном случае траекторией является отрезок вертикальной оси.

Если частица вынуждена двигаться по некоторой данной кривой (подобно тому как поезд движется по рельсам), то движение ее может быть определено функцией (функцией времени равной длине дуги вычисляемой вдоль данной кривой от некоторой начальной точки до положения частицы в точке Р в момент времени Например, если речь идет о единичном круге то функция определяет на этом круге равномерное вращательное движение со скоростью с.

Упражнение. Начертить траектории плоских движений, заданных уравнениями: в описанном выше параболическом движении предположить начальное положение частицы (при в начале координат и считать Найти координаты самой высокой точки траектории. Найти время и значение х, соответствующие вторичному пересечению траектории с осью

Первой целью, которую поставил себе Ньютон, было нахождение скорости частицы, движущейся неравномерно. Рассмотрим для простоты движение частицы вдоль некоторой прямой линии, заданное функцией Если бы движение было равномерным, т. е. совершалось с постоянной скоростью, то эту скорость можно было бы найти, взяв два момента времени и соответствующие им положения частиц и составив отношение

Например, если измерено в часах, а ; в километрах, то при разность будет число километров, пройденных за 1 час, скорость (километров в час). Говоря, что скорость есть величина постоянная, имеют в виду лишь то, что разностное отношение

не изменяется при любых значениях Но если движение неравномерно (что имеет, например, место при свободном падении тела, скорость которого по мере падения возрастает), то отношение (3) не дает значения скорости в момент а представляет собой то, что принято называть средней скоростью в промежутке времени от до Чтобы получить скорость в момент нужно вычислить предел средней

скорости при стремлении Таким образом, вместе с Ньютоном определим скорость так:

Другими словами, скорость есть производная от «пройденного пути» (координаты частицы на прямой) по времени, или «мгновенная скорость изменения» пути по отношению ко времени - в противоположность средней скорости изменения, определяемой по формуле (3).

Скорость изменения самой скорости называется ускорением. Ускорение - это просто производная от производной; оно обычно обозначается символом и называется второй производной от функции

Галилейзаметил, что вертикальное расстояние х, проходимое при свободном падении тела в течение времени выражается формулой

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин ε и х было придумано специальное обозначение: ε обозначается как ∆t, а х - как ∆s. Величина ∆t означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок ∆ ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sin θ не означает s·i·n·0. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок ∆ напоминает нам о его особом характере. Ну, а если ∆ не множитель, то его нельзя сократить в отношении ∆s/∆t. Это все равно, что в выражении sin θ/sin 2θ сократить все буквы и получить 1/2. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения ∆s/∆t при ∆t, стремящемся к нулю, т. е.

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно величины изменяются.
Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. ∆s = υ∆t. Это правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала ∆t, а это, вообще говоря, происходит, только когда ∆t достаточно мало. В таких случаях обычно пишут ds = υdt, где под dt подразумевают интервал времени ∆t при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал ∆t достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение ∆s = υ∆t будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds = υdt точное. В новых обозначениях выражение (8.5) имеет вид

Величина ds/dt называется «производной s по t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный процесс нахождения производной называется, кроме того; дифференцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t 2 , или просто производную от 5t 2 . Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение s = At 3 + Bt + С, которое может описывать движение точки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравнении, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t + ∆t, причем к s прибавится некоторая добавка ∆s, и найдем, как выражается ∆s через ∆t. Поскольку

Но нам нужна не сама величина ∆s, а отношение ∆s/∆t. После деления на ∆t получим выражение

которое после устремления ∆t к нулю превратится в

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференцирования функций. На самом деле он несколько легче, чем это кажется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, подобных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (∆t) 2 или (∆t) 3 или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем ∆t устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8.3.